Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej. Część 3 Część 3

Podręcznik do wykładów z algebry na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej powstał na podstawie wykładów „Algebra i jej zastosowania 1, 2” oraz „Wybrane zagadnienia algebry” prowadzonych przez autorkę na tym wydziale przez wiele lat. Zrozumienie książki wymaga od Czytelnika znajomości algebry liniowej oraz elementów logiki i teorii mnogości w zakresie wykładanym na pierwszym roku studiów matematycznych. Podręcznik zawiera podstawowe informacje należące do kanonu jednosemestralnego kursu algebry tradycyjnie wykładanego na większości wydziałów matematycznych, ale materiał jest znacznie obszerniejszy. Poza działami „klasycznymi” dotyczącymi grup, pierścieni przemiennych i ciał omówione są również struktury mniej klasyczne, ale mające coraz większe znaczenie zarówno w algebrze, jak i jej zastosowaniach. Tematy są dobrane w sposób pozwalający na wskazanie pewnych kierunków zastosowań w innych dziedzinach matematyki. Książka zawiera sporo przykładów, brakuje w niej jednak zadań do samodzielnego rozwiązania, których dołączenie planowane jest w przyszłości.

Jest to najnowsza wersja podstawy wykładów i ćwiczeń dla studentów informatyki, prowadzonych przez autora na Uniwersytecie Gdańskim, Politechnice Gdańskiej i w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Elblągu.
Treść obejmuje: podstawowe struktury algebraiczne, liczby zespolone, wielomiany, macierze, układy równań liniowych, wyznaczniki, przestrzeń wektorową, przekształcenia liniowe, iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów, wartości własne, formy kwadratowe i elementy geometrii analitycznej.
Teorię przedstawiono w sposób czytelny i ścisły, dowodząc prawie wszystkie twierdzenia. Ważniejsze pojęcia, twierdzenia i metody algebry liniowej zilustrowane są w ponad 300 rozwiązanych przykładach. Do zrozumienia materiału wystarczą standardowe wiadomości i umiejętności matematyczne na poziomie szkoły średniej.

Sprawdzony w praktyce podręcznik obejmujący przestrzenie liniowe i ich podzbiory, przestrzenie unormowane i ich własności topologiczne, przestrzenie unitarne, operatory liniowe i ograniczone, przestrzenie sprzężone i operatory sprzężone. Na początku każdego rozdziału są podane potrzebne definicje i twierdzenia, a po nich zadania łatwe, średnio trudne i trudne. Prawie wszystkie zadania mają szczegółowe rozwiązania. Zbiór może być podstawą samodzielnego studiowania przedmiotu.

Zwięzły wykład podstawowych zagadnień teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta. Wśród omówionych tematów znajdują się: rachunek funkcyjny i twierdzenia spektralne, operatory zwarte, śladowe i Hilberta-Schmidta, samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych oraz jednoparametrowe grupy operatorów.

Dyskusja operatorów nieograniczonych oparta jest w znacznej mierze na narzędziu z teorii algebr operatorów – tak zwanej z-transformacie, która pozwala zakodować skomplikowane informacje o operatorach nieograniczonych w operatorach ograniczonych, dając w ten sposób możliwość uniknięcia wielu problemów technicznych. Publikacja przeznaczona jest dla studentów matematyki i fizyki oraz dla naukowców z tych dziedzin.

Przedstawiony wykład zakłada podstawową wiedzę z analizy matematycznej i algebry, a także z teorii funkcji analitycznych i podstaw analizy funkcjonalnej oraz teorii przestrzeni Hilberta.

Każdy rozdział kończą syntetyczne notatki ze źródłami zadań i przykładów oraz z możliwymi drogami dalszego rozwoju teorii.

*********

Elements of the Theory of Operators on Hilbert Space

The book provides a concise and self-contained exposition of introductory topics in the theory of operators on Hilbert spaces. The topics covered include functional calculus and various versions of spectral theorems both for bounded and unbounded operators, compact operators, the trace and trace-class and Hilbert-Schmidt operators, selfadjoint extensions of symmetric operators and one-parameter groups of unitary operators.

The treatment of unbounded operators is largely based on a tool from theory of operator algebras, the so called z-transform. The transform makes it possible to encode complicated information about unbounded operators by bounded ones and thus avoid many intricacies of standard approach.

The book is intended for students of mathematics and physics as well as scientists working in those areas. Prerequisites include basic knowledge of analysis, algebra, measure theory as well as analytic functions and rudiments of functional analysis and Hilbert spaces.

Each chapter ends with a brief note indicating sources for examples, exercise problems and further developments of the theory.

*********

Dr hab. Piotr Mikołaj Sołtan – ukończył Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Obecnie jest adiunktem w Katedrze Metod Matematycznych Fizyki na Wydziale Fizyki UW. Po doktoracie obronionym na tym wydziale odbył staże w Instytucie Matematycznym wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Wilhelma w Münster oraz w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk, gdzie w 2010 roku uzyskał stopień doktora habilitowanego na podstawie prac poświęconych zwartym grupom kwantowym definiowanym przez własności uniwersalne.
Autor prac z dziedziny grup kwantowych i edytor tomów "Quantum Groups and Non-commutative Geometry" oraz "Topological Quantum Groups", opublikowanych przez Banach Center Publications. Jego zainteresowania naukowe koncentrują się wokół teorii topologicznych grup kwantowych, nieprzemiennej geometrii i algebr operatorów.

Tekst napisany ponad czterdzieści lat temu pozostaje bardzo aktualny. Nie wydaje się, aby w języku polskim istniał podręcznik o podobnej konstrukcji i języku, obejmujący taki fragment geometrii różniczkowej. Zastosowano nowoczesny język geometrii różniczkowej, wprowadzony w drugiej połowie XX wieku i używany obecnie powszechnie. W tym przypadku jest to język wiązek wektorowych, operatorów różniczkowych i algebry tensorowej.
Podręcznik ten może być przydatny dla studentów, i pracowników naukowych, kierunków matematycznych, fizycznych i ogólnie ścisłych, zarówno uniwersytetów, jak i politechnik.

Część wstępna opracowania zawiera wskazówki praktyczne, przypomnienie relacji równoległości i prostopadłości oraz pojęcie rzutu równoległego. W części głównej podano merytoryczne treści dotyczące metody rzutowania prostokątnego na dwie i więcej rzutni. Zaletą podręcznika jest stopniowanie trudności w zamieszczonych przykładach - zawsze ilustrowanych rysunkiem. Podręcznik został napisany z myślą o studentach mechanikach, ale może być wykorzystywany na innych kierunkach studiów politechnicznych.